ラプラス変換

$$F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$$

から、三角関数のラプラス変換公式を導出してみたいと思います。

今

$$f(t)=\sin \omega t$$

とすると

$$F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin \omega tdt\hspace{50pt}(3)$$

ここで、計算を簡単にする為に、sinωtを指数関数で表す式を導きます。

微積分の計算は指数関数に置き換えると計算が楽になります。

まず、オイラーの公式より

$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t \hspace{50pt}(4)$$

$$e^{-j\omega t}=\cos \omega t-j\sin \omega t \hspace{50pt}(5)$$

(4)式-(5)式は

$$e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}=2j\sin \omega t$$

よって

$$\sin \omega t=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}\hspace{50pt}(6)$$

(6)式を(3)式に代入すると

$$F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}dt$$

$$$$

$$=\frac{1}{2j}\int_{0}^{\infty}\{e^{-(s-j\omega)t}-e^{-(s+j\omega)t}\}dt$$

$$$$

$$=\frac{1}{2j}\left[\frac{e^{-(s-j\omega)t}}{-(s-j\omega)}-\frac{e^{-(s+j\omega)t}}{-(s+j\omega)}\right]^{\infty}_0$$

$$$$

$$=\lim_{t \to \infty}\frac{1}{2j}\frac{e^{-(s-j\omega)t}}{-(s-j\omega)}-\lim_{t \to \infty}\frac{1}{2j}\frac{e^{-(s+j\omega)t}}{-(s+j\omega)}-\frac{1}{2j}\biggr\{\frac{1}{-(s-j\omega)}-\frac{1}{-(s+j\omega)}\biggr\}$$

$$$$

$$=\frac{1}{2j}\biggr\{\frac{1}{s-j\omega}-\frac{1}{s+j\omega}\biggr\}$$

$$$$

$$=\frac{1}{2j}\biggr\{\frac{s+j\omega-(s-j\omega)}{(s-j\omega)(s+j\omega)}\biggr\}$$

$$$$

$$=\frac{1}{2j}\frac{2j\omega}{s^2+\omega^2}$$

$$$$

$$=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

以上の様に、ラプラス変換の公式を導出することができます。