2次方程式の解の公式。式が複雑で覚えづらいという方もいらっしゃることでしょう。しかし、もし解の公式を忘れてしまった場合でも、導出することができます。

平方完成という技を使う

$$ax^2+bx+c=0 \hspace{10pt}(a,b,cは定数,a\neq0)\\[20pt]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\[20pt]x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0\\[20pt](x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0\\[20pt](x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}\\[20pt](x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\[20pt](x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}\\[20pt](x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[20pt]x+\frac{b}{2a}=\pm{\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}}\\[20pt]x=-\frac{b}{2a}\pm{\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\[20pt]x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}$$

bの項が偶数の場合、解の公式の計算がもう少し簡単になります。いま、bが偶数ですから、

$$b=2b’$$

として、これを先ほど導出した2次方程式の解の公式に代入すると

$$x=\frac{-2b’\pm{\sqrt{(2b’)^2-4ac}}}{2a}\\[20pt]x=\frac{-2b’\pm{\sqrt{4b’^2-4ac}}}{2a}\\[20pt]x=\frac{-2b’\pm{\sqrt{4(b’^2-ac)}}}{2a}\\[20pt]x=\frac{-2b’\pm{2\sqrt{b’^2-ac}}}{2a}\\[20pt]x=\frac{-2b’}{2a}\pm{\frac{2\sqrt{b’^2-ac}}{2a}}\\[20pt]x=\frac{-b’}{a}\pm{\frac{\sqrt{b’^2-ac}}{a}}\\[20pt]x=\frac{-b’\pm{\sqrt{b’^2-ac}}}{a}$$