分母分子に根号を含む場合、少し工夫が必要です。例えば、次の極限値を求めてみましょう。

$$\lim_{n \to\infty }\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}$$

分母分子に

$$(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})$$

を掛けると

$$\lim_{n \to\infty}\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}\cdot \frac{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}\\[25pt]=\lim_{n \to \infty}\frac{\{n-(n-1)\}(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}{(n+2-n)(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}\\[25pt]=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}$$

$$分母分子を\sqrt{n}で割ると$$

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{n+2}{n}}+1}{1+\sqrt{\frac{n-1}{n}}}\\[25pt]=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}$$

$$n \to \inftyの時、\frac{2}{n} \to 0 , \frac{1}{n} \to 0となるので$$

$$与式=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}+1}{1+\sqrt{1}}\\[25pt]=\frac{1}{2}$$